تحصل الرياضيات على وصمة عار مخيفة للطلاب ، على الرغم من أنك كلما اكتشفت وتمارس الرياضيات في كثير من الأحيان ، كلما كانت أكثر متعة ومتعة. لذا ، سندعوك الآن لمعرفة المزيد عن الاستقراء الرياضي. ما هو الاستقراء الرياضي ولماذا يستخدم؟
يمكن تفسير الاستقراء الرياضي نفسه على أنه أسلوب إثبات في الرياضيات. يتم استخدامه لإثبات العبارات الخاصة التي تحتوي على أرقام طبيعية. ينتج عن الدليل باستخدام هذه الطريقة استنتاجات عامة.
مقدمة في الاستقراء الرياضي
عند إثبات استخدام الاستقراء الرياضي ، يتم الحصول على استنتاجات عامة. هناك نوعان من التفكير يستخدمان للحصول على استنتاجات ، وهما الاستنتاج المنطقي والاستدلال الاستقرائي.
- الاستدلال الاستنتاجي هو المنطق الذي يبدأ من العبارات العامة إلى عبارات محددة. يُطلق على هذا النهج النهج "العام الخاص" لأن التفكير يبدأ من الشيء العام ثم ينتهي بأشياء محددة. مثال؛ كل التفاح فاكهة ، وكل الفاكهة تنمو على الأشجار ، لذلك كل التفاح ينمو على الأشجار.
- الاستدلال الاستقرائي هو المنطق الذي يبدأ من عبارات محددة إلى عبارات عامة. هذا النهج يسمى النهج "العام المحدد" لأن البيانات تتكون من نقاط محددة للوصول إلى استنتاجات مقبولة بشكل عام. مثال؛ يلاحظ راكب الحافلة أنه في كل مرة يضغط فيها سائق الحافلة على دواسة الفرامل ، سيتم دفع جميع ركاب الحافلة إلى الأمام.
(اقرأ أيضًا: التحول في الرياضيات ، مثل ماذا؟)
بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدام طريقة الاستقراء الرياضي لإثبات صحة فرضية خاصة بحيث يتم قبولها بشكل عام. لذلك يتم استخدام هذه الطريقة في الإثبات في الاستدلال الاستقرائي.
تطبيق الاستقراء الرياضي
يمكن العثور على تطبيق الاستقراء الرياضي في مختلف فروع الرياضيات. يجب إثبات الفرضيات المرتبة في الرياضيات حتى يتم قبولها بشكل عام. تكون الفرضية صحيحة بشكل عام إذا تم إثبات صحتها لجميع القيم العددية المستخدمة. إليك مثال على بيان يمكن إثباته بهذه الطريقة.
إثبات أن مجموع سلسلة الأرقام الفردية -n هو n2. حيث n عدد طبيعي.
الحل: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 ينطبق على كل n € A
الخطوة الأساسية: بالنسبة إلى n = 1 ، نحصل على أن P1 = 1 = 12 صحيح.
خطوة الاستقراء: افترض أنه بالنسبة إلى n = k ، فإن P k صحيحة. سيظهر أنه بالنسبة لـ n = k + 1 ، P (k + 1) = (k + 1) 2 صحيح.
انتبه إلى الخطوات التالية:
بالنسبة إلى n = k ، فإن P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 صحيحة.
بإضافة [2 (ك + 1) -1] للطرفين
الفوسفور (ك + 1) = 1 + 2 + 3 + ... (2 ك + 1) + [2 (ك + 1) -1] = ك 2 + [2 (ك + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (مثبت)
مبادئ الاستقراء الرياضي
لنفترض أن P (n) عبارة تحتوي على أعداد طبيعية. يمكن إثبات صحة التعبير P (n) لجميع الأعداد الطبيعية n باتباع خطوات الاستقراء الرياضي.
فيما يلي خطوات الإثبات باستخدام هذه الطريقة:
- أثبت أن P (1) صحيحة أو P (n) صحيحة من أجل n = 1.
- إذا كانت P (k) صحيحة ، فقم بإظهار أن P (k + 1) صحيحة لكل عدد صحيح موجب k.
إذا كانت الخطوتان (1) و (2) صحيحة ، فيمكن استنتاج أن P (n) صحيحة لكل عدد طبيعي n. الخطوة 1 تسمى الخطوة الأساسية ، بينما تسمى الخطوة 2 خطوة الاستقراء.
