في الهندسة المعمارية ، توجد حسابات رياضية لمباني المباني ، أحدها عبارة عن نظام معادلات خطية. نظام المعادلات الخطية مفيد في تحديد إحداثيات نقاط التقاطع. الإحداثيات الصحيحة ضرورية لإنتاج مبنى يطابق الرسم التخطيطي. في هذه المقالة ، سنناقش نظام المعادلة الخطية ثلاثي المتغيرات (SPLTV).
يتكون نظام المعادلات الخطية من ثلاثة متغيرات من عدة معادلات خطية بثلاثة متغيرات. الشكل العام للمعادلة الخطية ثلاثية المتغيرات هو كما يلي.
الفأس + ب + تشيكوسلوفاكيا = د
a و b و c و d هي أعداد حقيقية ، لكن لا يمكن أن تكون a و b و c كلها 0. للمعادلة العديد من الحلول. يمكن الحصول على حل واحد عن طريق معادلة أي قيمة للمتغيرين لتحديد قيمة المتغير الثالث.
القيمة (x ، y ، z) هي مجموعة الحلول لنظام ثلاثي المتغيرات من المعادلات الخطية إذا كانت القيمة (x ، y ، z) تفي بالمعادلات الثلاث في SPLTV. يمكن تحديد مجموعة تسوية SPLTV بطريقتين ، وهما طريقة الاستبدال وطريقة الحذف.
طريقة الاستبدال
طريقة الاستبدال هي طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق استبدال قيمة متغير واحد من معادلة إلى أخرى. يتم تنفيذ هذه الطريقة حتى يتم الحصول على جميع القيم المتغيرة في نظام ثلاثي المتغيرات من المعادلات الخطية.
(اقرأ أيضًا: نظام المعادلة الخطية ثنائي المتغير)
طريقة الاستبدال أسهل في الاستخدام على SPLTV والتي تحتوي على معادلات ذات معامل 0 أو 1. فيما يلي خطوات حل طريقة الاستبدال.
- ابحث عن معادلة لها أشكال بسيطة. المعادلات المبسطة لها معامل 1 أو 0.
- عبر عن متغير واحد في شكل متغيرين آخرين. على سبيل المثال ، يتم التعبير عن المتغير x بدلالة y أو z.
- استبدل القيم المتغيرة التي تم الحصول عليها في الخطوة الثانية في معادلات أخرى في SPLTV ، بحيث يتم الحصول على نظام معادلة خطية متغيرين (SPLDV).
- تحديد تسوية SPLDV التي تم الحصول عليها في الخطوة الثالثة.
- تحديد قيم جميع المتغيرات المجهولة.
لنقم بالمثال التالي. أوجد مجموعة الحلول لنظام المعادلات الخطية ذات الثلاثة متغيرات التالية.
س + ص + ض = -6 ... (1)
س - 2 ص + ض = 3 ... (2)
-2x + y + z = 9 ... (3)
أولاً ، يمكننا تحويل المعادلة (1) إلى z = -x - y - 6 إلى المعادلة (4). بعد ذلك ، يمكننا استبدال المعادلة (4) في المعادلة (2) على النحو التالي.
س - 2 ص + ض = 3
س - 2 ص + (-س - ص - 6) = 3
س - 2 ص - س - ص - 6 = 3
-3 ص = 9
ص = -3
بعد ذلك ، يمكننا استبدال المعادلة (4) بالمعادلة (3) على النحو التالي.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2 س + ص - س - ص - 6 = 9
-3 س = 15
س = -5
لدينا قيم x = -5 و y = -3. يمكننا التعويض عنها في المعادلة (4) للحصول على قيمة z كما يلي.
ض = -x - ص - 6
ض = - (- 5) - (-3) - 6
ض = 5 + 3-6
ض = 2
إذن ، لدينا مجموعة الحلول (س ، ص ، ض) = (-5 ، -3 ، 2)
طريقة القضاء
طريقة الحذف هي طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق حذف أحد المتغيرات في معادلتين. يتم تنفيذ هذه الطريقة حتى يتم ترك متغير واحد.
يمكن استخدام طريقة الحذف في جميع أنظمة المعادلات الخطية ذات الثلاثة متغيرات. لكن هذه الطريقة تتطلب خطوة طويلة لأن كل خطوة يمكن أن تزيل متغير واحد فقط. مطلوب ما لا يقل عن 3 طرق إزالة لتحديد مجموعة تسوية SPLTV. هذه الطريقة أسهل عند دمجها مع طريقة الاستبدال.
فيما يلي خطوات الإنجاز باستخدام طريقة الحذف.
- لاحظ أوجه التشابه الثلاثة على SPLTV. إذا كان لمعادلتين نفس المعامل على نفس المتغير ، اطرح أو أضف المعادلتين بحيث يكون للمتغير معامل 0.
- إذا لم يكن هناك متغير له نفس المعامل ، اضرب كلا المعادلتين في الرقم الذي يجعل معامل المتغير في كلتا المعادلتين هو نفسه. اطرح أو اجمع المعادلتين بحيث يكون للمتغير معامل 0.
- كرر الخطوة 2 لأزواج أخرى من المعادلات. يجب أن يكون المتغير الذي تم حذفه في هذه الخطوة هو نفسه المتغير الذي تم حذفه في الخطوة 2.
- بعد الحصول على معادلتين جديدتين في الخطوة السابقة ، حدد مجموعة الحلول للمعادلتين باستخدام طريقة حل نظام المعادلة الخطية ذات المتغيرين (SPLDV).
- استبدل قيمة المتغيرين اللذين تم الحصول عليهما في الخطوة 4 في إحدى معادلات SPLTV بحيث يتم الحصول على قيمة المتغير الثالث.
سنحاول استخدام طريقة الحذف في المشكلة التالية. تحديد مجموعة حلول SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3 س + 2 ص + ع = 20 ... (2)
س + 4 ص + 2 ز = 15 ... (3)
يمكن تحديد SPLTV بإلغاء المتغير z. أولاً ، أضف المعادلتين (1) و (2) للحصول على:
2 س + 3 ص - ع = 20
3 س + 2 ص + ع = 20 +
5 س + 5 ص = 40
س + ص = 8 ... [4)
ثم اضرب 2 في المعادلة (2) واضرب 1 في المعادلة (1) لتحصل على:
3 س + 2 ص + ع = 20 | س 2 6 س + 4 ص + 2 ز = 40
س + 4 ص + 2 ز = 15 | س 1 س + 4 ص + 2 ز = 15 -
5 س = 25
س = 5
بعد معرفة قيمة x ، استبدلها بالمعادلة (4) على النحو التالي.
س + ص = 8
5 + ص = 8
ص = 3
عوّض بقيمتي x و y في المعادلة (2) على النحو التالي.
3 س + 2 ص + ع = 20
3 (5) + 2 (3) + ض = 20
15 + 6 + ع = 20
ض = -
بحيث تكون مجموعة حلول SPLTV (x، y، z) هي (5، 3، -1).
