المنطق الرياضي هو فرع من فروع المنطق والرياضيات يحتوي على دراسات رياضية للمنطق وتطبيق هذه الدراسة على مجالات أخرى خارج الرياضيات. يرتبط المنطق الرياضي ارتباطًا وثيقًا بعلوم الكمبيوتر والمنطق الفلسفي ، حيث تتمثل الموضوعات الرئيسية في القوة التعبيرية للمنطق الرسمي والقوة الاستنتاجية لأنظمة الإثبات الرسمية. غالبًا ما يتم تقسيم المنطق الرياضي إلى فروع من نظرية المجموعات ، ونظرية النموذج ، ونظرية العودية ، ونظرية الإثبات ، والرياضيات البناءة. هذه الحقول لها نفس نتائج المنطق الأساسية.
بيان
في المنطق الرياضي ، سوف نتعلم كيفية تحديد قيمة البيان. البيان نفسه عبارة عن جملة من المؤكد أن لها قيمة حقيقية أو قيمة معينة خاطئة ، ولكن ليس كلاهما.
بيان مغلق وبيان مفتوح
ثم يتم تقسيم البيانات إلى نوعين، البيانات مغلقة (الجمل مغلقة) و البيانات المفتوحة (جملة مفتوحة) . البيان المغلق هو بيان قيمته الحقيقة مؤكدة ، بينما البيان المفتوح هو بيان قيمته الحقيقة غير مؤكدة.
أمثلة على العبارات:
- 9 عدد فردي >> هذه العبارة صحيحة
- جاكرتا هي عاصمة الهند >> هذا البيان خاطئ
في المنطق الرياضي ، يتم تمثيل البيانات بالأحرف p أو q أو r.
الجملة المفتوحة هي جملة رياضية ليس لها قيمة حقيقة بعد. تحتوي هذه الجملة دائمًا على متغيرات.
أمثلة على الجمل المفتوحة:
- تُعرف أ باسم مدينة المطر
- لا يذهب آثا إلى المدرسة بسبب المرض
على عكس الجمل المغلقة حيث يمكن التحقق من قيمة الحقيقة ، لا تزال الجمل المفتوحة مشكوك فيها وصحيحة وخاطئة. لذلك لا يمكن قول هذه الجملة كبيان.
يمكن تحويل الجملة المفتوحة إلى بيان إذا تم استبدال المتغيرات في الجملة بقيمة بحيث يكون للجملة قيمة حقيقية.
مثال:
المعروفة باسم مدينة المطر هي جملة مفتوحة ، في حين
تُعرف مدينة بوغور باسم مدينة المطر وهي عبارة عن جملة بيان
النفي
بعد فهم ماهية الجملة وما هي الجملة المفتوحة ، فإن الخطوة التالية هي مناقشة النفي.
النفي أو يسمى أيضًا النفي / الإنكار هو بيان ينكر ما يتم تقديمه. يمكن تكوين ذاكرة البيان بإضافة "ليس صحيحًا أن ..." أمام العبارة التي تم رفضها. يشار إلى هذا بواسطة ~.
لنفترض أن p صحيح ، إذن ~ p خطأ. والعكس صحيح ، إذا كانت p خطأ ، فإن ~ p تكون صحيحة.
مثال على نفي البيان:
- جاكرتا هي عاصمة ماليزيا
جاكرتا ليست عاصمة ماليزيا
- 9 هو رقم فردي
9 ليس عددًا فرديًا
بيانات مركبة
بعد ذلك ، تتم ترجمة العبارة إلى عبارات مركبة ، والتي يتم تقسيمها في هذه الحالة إلى عدة أنواع:
- اقتران
- انفصال
- آثار
- Biimplication
1. اقتران
أداة العطف ، التي يتم الإشارة إليها بواسطة (Ʌ) هي بيان مركب مع أداة العطف "و". سيكون صحيحًا إذا كانت المتغيرات صحيحة ، وخطأ إذا كان أحد المتغيرات خاطئًا.
مثال:
p: جاكرتا هي عاصمة العالم (بيان بقيمة حقيقية)
س: جاكرتا مدينة حضرية (بيان بقيمة حقيقية)
p ^ q: جاكرتا هي عاصمة العالم ومدينة حضرية (بيان مع القيم الحقيقية)
2. الانفصال
الفصل ، الذي يُرمز إليه بـ (V) هو بيان مركب يتكون من خلال الجمع بين جملتين منفردتين باستخدام أداة الربط "أو". يكون الانفصال صحيحًا إذا كان أحد العبارتين صحيحًا وخطأ إذا كانت العبارتان خاطئتين.
مثال:
p: جاكرتا هي عاصمة العالم (بيان بقيمة حقيقية)
س: جاكرتا مدينة الطلاب (بيان بقيمة خاطئة)
pVq: جاكرتا هي عاصمة العالم أو مدينة الطلاب (بيان بقيمة حقيقية)
3. الآثار
المعنى الضمني هو سؤالان p و q يردان في شكل الجملة "if p ثم q". يشار إلى هذا بواسطة p -> q.
مثال:
ع: عثا يجتهد في الدراسة (بيان بقيمة حقيقية)
س: مر آتا بدرجة رائعة (بيان القيمة الحقيقية)
p-> q: إذا كان Atha مجتهدًا في الدراسة ، فسيتم اجتياز Atha بدرجة رائعة (العبارة صحيحة)
4. Biimplications
Biimplication هو بيان مركب يتم التعبير عنه في شكل الجملة "... if and only if". يُشار إلى ذلك بواسطة pq ، ويُقرأ "p if وفقط إذا q".
مثال:
p: 1 + 1 = 2 (العبارة صحيحة)
q: 2 هو رقم فردي (بيان خاطئ)
pq: 1 + 1 = 2 فقط إذا كان 2 عددًا فرديًا (بيان القيمة الخاطئة)
